Эпидемия COVID-19 в России. Москва и регионы. Аналитические расчёты

Эпидемия COVID-19 в России. Москва и регионы. Аналитические расчёты

Губенко Сергей

Оглавление

Введение

Методика аналитических расчётов

Несколько очагов эпидемии

Эпидемия в Москве

Эпидемия в Московской области

Эпидемия в регионах

Эпидемия в России

Прогноз

Заключение

Эпидемии коронавируса COVID-19 охватили в 2020-ом году большинство стран мира, а в марте этого года эпидемия началась и в России. К середине июня число инфицированных в стране более 0,5 миллиона человек, а в мире инфицировано уже более 8 миллионов человек и, к сожалению, это число растёт.

Эпидемии различной степени тяжести и масштаба регулярно происходят по всему миру, поэтому необходимо:

1) проводить исследования природы вирусов и заниматься разработкой средств защиты (вакцины) и

2) изучать динамику распространения эпидемий, чтобы своевременно и обоснованно принимать соответствующие меры.

Вторая задача проще, чем первая, но и она не решена в должной мере. Для решения этой задачи используется математическое моделирование [1] эпидемических процессов, которое, в настоящее время, заключается в составлении систем из 3-5 обыкновенных дифференциальных уравнений и решении этих систем численными методами. Эти модели содержат 5-7 параметров и, насколько мне известно, не имеют аналитических решений.

В предыдущей работе [2] предложен относительно простой метод аналитических расчётов эпидемических процессов. Метод был апробирован расчётами для ряда стран (Германия, Китай, Италия, Бельгия) и показал хорошее согласие расчётных и фактических данных.

В настоящей работе:1) метод применён к более сложным случаям распространения эпидемии, при наличии несколько очагов эпидемии, 2) проведены расчёты эпидемических процессов в России.

Вначале кратко напомним методику и приведём расчётные формулы.

Метод основан на аппроксимации временных зависимостей числа инфицированных людей – N_inf (t), числа выздоровевших людей - N_r(t) и числа умерших – N_d (t), а также их суточных приращений - ΔN_inf (t), ΔN_r(t) и ΔN_d(t) функциями, которые, по виду, напоминают интегральную и дифференциальную функцию нормального или логнормального распределения в теории вероятностей. В данной статье были использованы формулы:

N(t) = N₀ × 0,5 × (1 + erf ((Ln(t-t₀)-m)/(s×√2)) (1)

ΔN(t) = N₀×(1/((t-t₀)×s×(2p)^0,5))× exp (-(Ln(t-t₀)-m)²/(2×s²)), (2)

где

N₀, m, s, t₀ – параметры,

erf (z) – интеграл вероятностей (функция ошибок).

Параметр N₀ имеет смысл общего числа инфицированных (выздоровевших, умерших) за всё время эпидемии. Параметр t₀ отвечает за время реального начала процесса, это сдвиг по времени от выбранного начала отсчёта времени. Например, начало отсчёта выбрали 1-е марта (t=1), а реально эпидемия началась 15-го марта (t₀=15). Величина (t-t₀) стоит под логарифмом, поэтому, естественно, должно быть t> t₀ . Для t< t₀ принимаем N(t) =0 и ΔN(t) =0, что вполне логично, так как эпидемия для этих времён ещё не началась.

Параметры (N₀ ; m ; s ; t₀ ) вычисляются из уже имеющихся фактических данных, например, за первые 1-3 месяца эпидемии.

Их необходимо подбирать так, чтобы расчётная кривая как можно точнее описывала фактические (экспериментальные) значения. Это задача оптимизации. Для оптимизации параметров составлялась целевая функция и, варьируя параметры, находился её минимум. В качестве целевой функции было выбрано среднеквадратичное отклонение расчётных значений N и ΔN от фактических значений на каком-то массиве данных (30-100 точек).

Четвёртая важная функция эпидемического процесса – число одновременно болеющих – N_s, находилась из очевидного уравнения:

N_s = N_inf - N_r - N_d . (3)

Расчёты показали, что такими уравнениями можно описать эпидемии во многих странах. В предыдущей статье приведены расчёты только для четырёх стран (Германия, Китай, Италия, Бельгия), остальные результаты (Франция, Испания и др.) я опубликую в следующей статье. Замечу насчёт Китая, что точнее было бы говорить об эпидемии в городе Ухани (Китай), а не о всём Китае, так как весь Китай эпидемия тогда не затронула.

Что было общего для этих стран, при проведении расчётов?

Это прежде всего то, что фактические кривые приростов числа инфицированных, которые были уже большей частью известны, имели: 1) чётко выраженную право асимметричную колоколообразную форму и 2) эти кривые были без каких-либо ступенек и продолжительных плато. Первая особенность подсказала выбор “логнормальных” формул. О чём говорит вторая особенность? На мой взгляд, о том, что, в каждой из этих стран, по всей территории:

1) эпидемия началась примерно в одно и то же время, 2) статистика везде велась единообразно, 3) медицинские услуги оказывались одинаково, 4) граждане одинаково соблюдали принятые меры предосторожности. Другими словами, в этих странах существовал как бы один распределённый источник инфицирования, который начал работать примерно одновременно на территории всей страны (города) и условия для развития эпидемии были примерно одинаковы на протяжении всего процесса, поэтому и параметры были одни и те же по всей территории. Но так бывает не всегда.

Визуально анализируя кривые прироста числа инфицированных в странах, где проходит эпидемия, можно обнаружить на некоторых кривых: 1) ступеньки (скачки) и 2) продолжительные плато. Попробуем, вначале на качественном уровне, понять одну из возможных причин появления таких особенностей, и для этого рассмотрим рис. 1.

Рис.1 Два очага эпидемии. Логнормальные функции.

Пусть имеем два очага эпидемии (два источника инфекции) с соответствующими кривыми числа инфицированных N(t) и прироста числа инфицированных ΔN(t) с параметрами, записанными в формате

(N₀ ; m ; s ; t₀ ):

N₁(1,0;0,5;0,3;1,5) и ΔN₁(1,0;0,5;0,3;1,5),

N₂(1,5;0,5;0,3;3,0) и ΔN₂(1,5;0,5;0,3;3,0).

Параметры у соответствующих пар, естественно, одни и те же. Между собой эти очаги отличаются тем, что у второго очага конечное число инфицированных (N₀₂) в 1,5 раза больше, чем у первого. Параметры m и s у этих очагов одни и те же (m=0,5; s=0,3), но это, в данном случае, не принципиально. Оба очага “сдвинуты” по времени от начала отсчёта (по условной шкале времени) вправо (t₀₁=1,5) и (t₀₂=3,0). Второй очаг сдвинут вправо больше, но не на много, чтобы оставалась зона перекрытия.

Рассмотрим, что получается в результате наложения действия этих источников. Если не подозревать о существовании двух очагов и фиксировать только результирующее число инфицированных (N₁+N₂) и результирующий прирост (ΔN₁+ ΔN₂), то на первой кривой (зелёной) будет небольшой излом, который можно и не заметить, а на второй кривой приростов (голубой) отчётливо появится ступенька, над которой следует задуматься. Задуматься о причинах её появления. В данном примере причина появления этой ступеньки – появление второго очага.

На основании этой картинки, сделаем несколько обобщений и выводов:

1). Если существует два очага существенно различной мощности и их временные зоны перекрываются, то на суммарной кривой приростов появляется “гладкая ступенька”.

2). Если реально существует несколько очагов, примерно одной мощности, и они отстоят друг от друга по времени не далеко (на несколько дней), то, поочерёдно включаясь в работу, они могут образовать на суммарной кривой приростов “продолжительное плато”. Если мощности новых очагов уменьшаются, то “плато” будет наклонено вниз, если увеличиваются, то – вверх, если очаги имеют различную мощность, то о “плато” будет уже трудно говорить.

3). Восхождение на “плато” определяется параметрами первого очага, а спуск с него – параметрами последнего очага.

4). Если очаги существенно разнесены по времени, то можно говорить о “второй волне эпидемии”. В этом случае суммарная функция приростов будет просто повторять кривые приростов от каждого очага, так как они не действуют одновременно. А на функции, описывающей изменение суммарного числа инфицированных (умерших, выздоровевших), появится “гладкая ступенька”, в момент начала действия очередного источника инфекции.

Теперь, от этих простых абстрактных рассуждений с очагами, перейдём к конкретным данным по числу инфицированных и приростам в Москве. Эти данные представлены на рис. 2-3

Рис. 2 Число инфицированных в Москве.

Рис.3 Суточные приросты числа инфицированных. Москва.

В реальности, естественно, просто собирались данные по числу инфицированных и по приростам. Эти данные на графиках отмечены жёлтыми точками. Однако, неожиданно для всех, 1-го мая приросты дали скачок примерно в 2 раза, с 3 тысяч в сутки до 6. Эту ступеньку хорошо видно на рис.3. В результате этого скачка, к сожалению, более благоприятный старый сценарий развития событий был отброшен. Для объяснения этого скачка, сделаем предположение, что за 1-2 недели до 1-го мая возник второй очаг, то есть по каким-то причинам появились дополнительно 2-4 тысячи инфицированных. Для этих двух очагов я подобрал параметры и на графиках “старый” очаг – синие линии, а “новый” очаг – красные. В этом случае расчёты числа инфицированных дают хорошие результаты (чёрная линия на рис.2), а расчёты по приростам (рис.3) дают вполне удовлетворительные результаты. Вычисленные параметры этих двух очагов:

N₁(145 000; 4,14; 0,31; 3,3), N₂(70 000; 3,68; 0,32; 36).

Среднеквадратичные отклонения по 95 точкам для кривых (N₁+N₂) и (ΔN₁+ ΔN₂) составили соответственно S_N = 231 и S_DN =58.

Возникает вопрос, насколько нужна такая детализация и точность?

На мой взгляд, при общем описании эпидемии в Москве можно пренебречь этой ступенькой, так мы и поступим в следующем разделе.

Однако, причины появления ступеньки (второго очага) необходимо выяснить, чтобы избежать подобной ошибки в дальнейшем.

Первые инфицированные появились в Москве в начале марта 2020 года. Так 17-го марта их было 56 человек; 26-го марта 546; 29-го марта 1014; 7-го апреля 5181 и далее эпидемия начала набирать обороты. Для получения уравнений были выбраны фактические статистические данные числа инфицированных – N_inf, числа выздоровевших – N_r и числа умерших – N_d в первых 100 дней эпидемии (100 точек с 5-го марта по 12-е июня). В результате получили:

N = (N₀ ; m ; s ; t₀ ) S_N и S_DN ,

N_inf = (220 000 ; 4,29 ; 0,26 ; – 1,5 ) S_N = 279, S_DN =64;

N_r = (210 000 ; 4,29 ; 0,35 ; 26,7 ) S_N = 205, S_DN =80;

N_d = (4 300 ; 4,28 ; 0,37 ; 14 ) S_N = 4,9, S_DN =0,9.

Фактические данные и расчётные зависимости графически представлены на рис. 4-6

Рис.4 Эпидемия коронавируса в Москве.

Расчёты – линии, фактические данные – точки.

Четыре основные функции, которые определяют динамику развития эпидемии, это – число инфицированных, число выздоровевших, число умерших и число болеющих на данный момент. Три из этих функций представлены на этом рисунке. Видно, что число инфицированных продолжает расти, но кривая уже близка к выходу на насыщение. Этого пока нельзя сказать о кривой числа выздоровевших. Позитивным фактом является то, что кривая отвечающая за число болеющих уже перевалила через максимум, а значит нагрузка на медицинские учреждения и медиков снижается.

Заметим, что точность аппроксимации числа инфицированных несколько ухудшилась, по сравнению с предыдущими расчётами (два очага), но это естественно и было ожидаемо.

Рис.5 Суточные приросты числа инфицированных. Москва

Расчёты – линия, фактические данные – точки.

Рис.6 Рост числа умерших. Москва.

Расчёты – чёрная линия, фактические данные – оранжевые точки.

Кривая, описывающая число умерших, пока не демонстрирует выход на насыщение.

Если говорить в целом, то по этим графикам видно хорошее согласие фактических и расчётных данных для Москвы.

Первые инфицированные появились в Московской области, так же, как и в Москве, в начале марта 2020 года. Так 17-го марта их было 10 человек; 29-го марта 112; 8-го апреля 549; 11-го апреля 1082; 20-го апреля 5241 и далее рост усилился.

Для получения уравнений были выбраны фактические статистические данные числа инфицированных – N_inf, числа выздоровевших – N_r и числа умерших – N_d в первых 95 дней эпидемии (95 точек с 5-го марта по 7-е июня). В результате получили:

N = (N₀ ; m ; s ; t₀ ) S_N и S_DN ,

N_inf = (65 000 ; 4,36 ; 0,35 ; 5 ) S_N = 66, S_DN =8;

N_r = (54 000 ; 4,63 ; 0,30 ; 17 ) S_N = 38, S_DN =7;

N_d = (1 100 ; 4,32 ; 0,40 ; 20 ) S_N = 3, S_DN =0,5.

Фактические данные и расчётные зависимости представлены на рис. 7-9.

Рис.7 Эпидемия коронавируса. Московская область.

Расчётные значения – линии, фактические данные – точки.

Видим, что эпидемия в Московской области отстаёт на несколько дней от эпидемии в Москве, да и темпы у неё пониже. Кривая, описывающая изменение численности инфицированных (синяя) пока не вышла на насыщение, но даже по ней видно, что максимум приростов уже пройден, изменился знак кривизны.

Суточные приросты уже прошли максимальное значение (рис.8), поэтому скоро это будет видно и на кривой инфицирования. Число одновременно болеющих (чёрная линия) пока не перевалило через максимум.

Рис.8 Суточные приросты числа инфицированных в Московской области. Расчётная кривая – синяя линия, фактические данные – точки.

Рис.9 Число умерших в Московской области.

Расчётная кривая – синяя линия, фактические данные – точки.

Кривая, описывающая число умерших, тоже пока не приблизилась к насыщению.

Согласие расчётных и фактических данных по Московской области хорошее.

Россия имеет в своём составе 85 регионов. Это республики (22), края (9), области (46), автономные округа (4), города федерального значения (Москва, Санкт-Петербург, Севастополь). Выше рассмотрели эпидемию в двух регионах (Москва и Московская обл.).

Для того, чтобы оценить “вес” каждого региона в общем числе инфицированных, приведём статистику на 10-е июня:

РФ – 493 658 (100%)

Москва – 199 785(40,5%)

Московская область – 46 457(9,4%)

Санкт-Петербург – 19 466 (3,9%)

Нижегородская область – 13 038(2,6%)

Свердловская область – 8 194(1,7%)

Ростовская область – 6 734(1,4%)

Дагестан – 6 175(1,3%)

Красноярский край – 5 791(1,2%)

Тульская область – 4 946 (1,0%)

Калужская область – 4 761(1,0%).

Динамика инфицирования (фактические значения) в нескольких регионах представлена на рис.10-11.

Рис.10 Изменение со временем числа инфицированных в регионах:

Санкт-Петербург, Нижегородская область, Свердловская область, Ростовская область.

Рис.11 Изменение со временем числа инфицированных в регионах:

Дагестан, Красноярский край, Тульская область, Калужская область.

Проанализируем эти данные. Видим, что эпидемия в этих регионах началась позднее, чем в Москве. Если за день начала эпидемии принять день, когда был превышен порог в 100 человек инфицированных, то имеем: Москва (20.03), Московская обл. (29.03), Санкт-Петербург (31.03), Нижегородская обл. (10.04),

Свердловская обл. (15.04), Ростовская обл. (15.04), Дагестан (14.04),

Красноярский край(13.04), Тульская обл.(15.04), Калужская обл.(16.04)

То есть в Московской области и Санкт-Петербурге эпидемия началась на 9-11 дней позднее, чем в Москве, а в остальных регионах на 20-26 дней позднее, чем в Москве.

Общее число инфицированных на 10-е июня в указанных 10-ти регионах составляет 63% и, соответственно, в оставшихся 75-ти регионах – 37%.

Для описания динамики развития эпидемии в России все регионы были условно разбиты на три группы: 1) Москва, 2) Московская область и 3) 83 оставшихся региона, начиная с Санкт-Петербурга. Будем в дальнейшем тексте, для краткости, именовать эту третью группу Регионы.

Динамика развития эпидемии в Москве и Московской области была описаны в предыдущих разделах этой статьи.

Для получения уравнений, описывающих динамику развития эпидемии в Регионах, были выбраны фактические статистические данные числа инфицированных – N_inf, числа выздоровевших – N_r и числа умерших – N_d в первых 98 дней эпидемии (98 точек с 5-го марта по 10-е июня).

В результате получили:

N = (N₀ ; m ; s ; t₀ ) S_N и S_DN ,

N_inf = (445 000 ; 4,41 ; 0,41 ; 12 ) S_N = 103, S_DN =69;

N_r = (300 000 ; 4,64 ; 0,365 ; 27 ) S_N = 14, S_DN =5;

N_d = (5 000 ; 4,29 ; 0,45 ; 29 ) S_N = 10,7, S_DN =1,8.

Фактические данные и расчётные зависимости представлены на рис. 12-14.

Рис. 12 Динамика развития эпидемии в регионах РФ.

Расчёты – линии, фактические данные – точки.

На рисунке представлены суммарные данные по 83-м регионам: число инфицированных – N_inf (чёрная линия), число выздоровевших – N_r (серая линия) и число болеющих – N_s (синяя линия). Кривые числа инфицированных и выздоровевших пока не вышли на насыщение.

Видно, что совпадение трёх расчётных зависимостей и фактических данных очень хорошее.

Рис. 13 Суммарный прирост числа инфицированных по 83-м регионам РФ. Расчёты – синяя линия, фактические данные – точки.

Совпадение расчётной зависимости суммарного прироста числа инфицированных с фактическими данными – хорошее, примерно, до t=90 (29-е мая), а дальше наблюдается некоторое расхождение. Видимо, это связано с тем, что объединять 83 региона в одну группу и описывать процесс инфицирования одной единственной зависимостью – это, достаточно, грубое приближение, и все регионы надо было разбить не на три, а на большее число однородных групп. Например, можно было выделить регион Санкт-Петербурга в отдельную группу, так как эпидемический процесс там ближе к процессу в Московской области, чем к процессу в Дагестане. Иначе получается, что вместо одного максимума имеем плато или наклонную вверх или вниз площадку, потому что различные регионы дают свои максимальные приросты не одновременно, а один за другим. Эту возможность обсуждали в начале этой статьи (несколько очагов).

Заметим также, что наиболее точное описание динамики развития эпидемии в целом по России можно было сделать, если бы удалось получить временные зависимости не по трём группам регионов, а по всем 85 регионам, но это довольно трудоёмкая работа и пока не ясно, будет ли она кому-нибудь интересна и нужна (кроме меня).

Рис. 14 Суммарный рост числа умерших по 83-м регионам РФ. Расчёты – синяя линия, фактические данные – точки.

Совпадение фактических данных и расчётных значений для числа умерших в регионах можно считать хорошим. Фактические данные показывают, что приближения к насыщению пока нет.

Эпидемический процесс в России, в целом по стране, отличается от процессов в таких странах, например, как Германия, где процесс стартовал примерно в одно и то же время по всей стране и затем протекал примерно в одних и тех же условиях. В России эпидемия началась в Москве, а в других регионах она стартовала позднее, постепенно, через 1-3 и более недель. Так как время начала эпидемии в различных регионах существенно различается (недели), поэтому пытаться описать процессы в целом по всей стране (как, например, для Германии) одной формулой (одно время) было бы не верно или получилось бы довольно грубое приближение. Понимая это, условно разбили все регионы на три группы (три очага) и в каждой из них выявили количественные зависимости. Теперь пришло время синтеза – объединим эти зависимости и посмотрим, насколько хорошо такой подход позволяет вычислять динамику эпидемии в целом по России.

Начнём с числа инфицированных. Результаты расчётов (кривые) и фактические данные (точки) представлены на рис. 15.

Рис.15 Число инфицированных в РФ.

Фактические данные – точки, линии – расчёты.

Подробно разберём рис.15. Ещё раз напомним, что в соответствии с принятой методикой, все 85 регионов РФ условно были разбиты на три группы: 1) Москва, 2) Московская область, 3) Регионы (остальные 83 региона). Для каждой из этих групп, язык не поворачивается называть их очагами, выявили количественные зависимости и, в том числе, три зависимости от времени числа инфицированных. На рисунке это линии – жёлтая (Московская область), голубая (Регионы) и чёрная (Москва). Чтобы найти общее число инфицированных в РФ, естественно, необходимо для каждого t просто сложить три соответствующие ординаты. Это и было сделано – оранжевая линия (РФ). После этого на график были добавлены фактические значения числа инфицированных в РФ – синие точки. Совпадение расчётных и фактических значений оказалось лучше, чем можно было надеяться.

Рис.16 Приросты числа инфицированных в РФ.

Фактические данные – точки, линии – расчёты.

Чтобы разобраться в этом рисунке, можно сначала вернуться к рисунку 1. Там было два очага эпидемии – два “колокола” функций приростов. На рис.16 имеем три очага разной мощности (три группы) и, соответственно, имеем три “колокола” разного размера – жёлтый (Московская область), серый (Москва) и синий (Регионы). Результирующие приросты числа инфицированных в РФ – это сумма этих трёх зависимостей (оранжевая линия). Синие точки – фактические значения. На мой взгляд, совпадение достаточно хорошее.

Рис.17 Число выздоровевших в РФ.

Фактические данные – точки, линии – расчёты.

На этом рисунке жёлтая линия – число выздоровевших в Московской области, серая – в Москве и синяя – в Регионах. Общее число (суммарное) выздоровевших в РФ – оранжевая линия. Совпадение фактических данных (синие точки) и расчётных данных (оранжевая линия) для числа выздоровевших в РФ такое же хорошее, как и для числа инфицированных в РФ.

Рис.18 Число умерших в РФ.

Фактические данные – точки, линии – расчёты.

Для числа умерших в РФ совпадение фактических значений (синие точки) и расчётных значений (оранжевая линия) хуже, чем в предыдущем случае, но также достаточно хорошее.

Рис.19 Число болеющих в РФ.

Фактические данные – точки, линии – расчёты.

Видим, что число болеющих в Москве (серая линия) уже стало снижаться, функция перевалила через максимум. Похожая или близкая к этому ситуация и в Московской области (жёлтая линия). Однако, зависимость общего числа болеющих во всей России (оранжевая линия) уже достигла максимума, но пока ещё не снижается.

Для числа болеющих в РФ, согласие фактических значений (синие точки) и расчётных значений (оранжевая линия) хорошее.

Зависимости получены и, казалось бы, по ним можно сделать прогноз дальнейшего развития эпидемии в России, дней на 10 или на месяц, а лучше на два. Чего проще, подставляешь в них соответствующее время (t), проводишь несложные вычисления, получаешь значения и прогноз готов. Однако, к сожалению, не всё так просто. Ведь, по сути, это будет экстраполяция, полученной на одном временном интервале зависимости, на другой временной интервал. То есть, неявно, мы постулируем, что на новом интервале будут справедливы и форма зависимости (формулы) и останутся те же значения параметров. Но последнее точно не так.

Напомню, большинство параметров были вычислены на массивах до 10-го июня, то есть для условий, когда действовали меры ограничения контактов. Сейчас эти меры постепенно снимаются, а значит и параметры изменяются, а, следовательно, по “старым” зависимостям нельзя уже делать прогноз на месяц и более. На тему прогнозов, точности вычислений, связи значений параметров с условиями, в которых проходит эпидемия, поговорим отдельно, позднее.

Чтобы не ограничиваться одними рассуждениями, приведу результаты экстраполяции полученных зависимостей с 10-го июня на 21-е июня.

		Число инфицированных	Число выздоровевших	Число умерших
Москва	Фактически	213 946	135 556	3 597
	Расчёт (%)	210 859 (1,5%)	143 685 (-6,0%)	3 452 (4,0%)
Московская область	Фактически	53 869	23 798	783
	Расчёт (%)	53 385 (1,0%)	22 323 (6,2%)	773 (1,3%)
Россия	Фактически	584 680	339 711	8 111
	Расчёт (%)	552 342 (5,5%)	328 928 (3,2%)	7 339 (9,5%)

В таблице приведены фактические и расчётные значения. Рядом с расчётными значениями в скобках указана ошибка, в процентах. Видим, что ошибка экстраполяции для большинства значений не превышает ±6% и только для числа умерших она равна 9,5%, возможно, это, частично, связано с изменением методики подсчёта числа умерших от коронавируса.

Предлагается относительно простой метод аналитического расчёта динамики развития эпидемий. Метод основан на аппроксимации основных зависимостей (число инфицированных, число умерших и число выздоровевших) функциями, которые хорошо известны в теории вероятности, а именно для нормального и логнормального распределения. Эти функции были несколько видоизменены и в них также было введено время, как переменная.

Функции содержат 3-4 параметра, значения которых находятся методами оптимизации. Расчёты, сделанные в предыдущей статье [2] для эпидемических процессов в Германии, Китае, Италии и Бельгии, показали хорошее согласие с фактическими данными.

В данной статье предлагаемый метод расчёта был распространен и на более сложные случаи развития эпидемий, когда существует не один источник инфицирования (очаг), а несколько, причём они могут иметь разную мощность и включаться в работу с некоторым запаздыванием. В зависимости от характеристик этих источников на кривой приростов числа инфицированных могут наблюдаться “плато” различной формы.

В России характер развития эпидемического процесса по всей стране отличается от процессов в Германии или Бельгии, где процесс начинался примерно в одно и то же время и проходил примерно в одних и тех же условиях. В России эпидемия началась в Москве и потом, с различной задержкой по времени (недели), она стартовала в регионах. По этой причине для описания эпидемии в России вначале все регионы были условно разбиты на три группы, и для каждой из них отдельно вычислены параметры процессов и определены зависимости. После чего соответствующие зависимости складывались и получали зависимости в целом для всей России.

Вычисленные таким образом для России зависимости изменения со временем числа инфицированных, числа выздоровевших, числа умерших и числа болеющих, показали хорошее согласие с фактическими данными. Это говорит о том, что предлагаемый метод применим и для описания динамики процесса эпидемии для случаев, когда существует нескольких очагов различной мощности, начинающих действовать с некоторыми задержками по времени.

В дальнейшем планируется провести подобные расчёты для других стран, а также описать более детально эпидемические процессы в различных регионах России.

Эпидемическая ситуация в России находится под контролем, но она различна для различных регионов страны. В Москве пройден пик эпидемии, уменьшается прирост числа инфицированных, снижается численность больных. Похожая ситуация и в Московской области. Остальные 83 региона отстают от Москвы по времени развития эпидемии на 2-3 недели и ситуация в них различная. В целом эти регионы пока не демонстрируют существенного снижения приростов числа инфицированных. В ближайшее время доля Москвы в приростах будет быстро уменьшаться. Также будет снижаться и доля Москвы в общем числе инфицированных. Начался процесс поэтапного снятия ограничительных мер. С 9 июня в Москве начался поэтапный выход из режима самоизоляции, отменен пропускной режим и график прогулок. Окончательно вернуться к прежней жизни в Москве планируется уже 23 июня. Каждый регион будет совершать поэтапный выход в соответствии со своим графиком. Пока никаких возвратных негативных явлений нет и можно надеяться на постепенное, плавное завершение эпидемических процессов в стране.

Литература

[1] П. Бузин. Эпидемии. Модели

[2] С. Губенко. Эпидемии коронавируса. Аналитические расчёты и прогнозы